科研進展
   新聞動態
      科研進展
      綜合新聞
      傳媒掃描
現在位置:首頁 > 新聞動態 > 科研進展
(王勇)關于若干可壓縮流體方程的研究
2019-04-29 | 編輯:

  可壓縮Navier-Stokes方程和Boltzmann方程解的適定性和漸近行為的研究一直以來都是非線性偏微分方程中的重要研究課題。最近,我們在這方面問題的研究中取得了重要進展。  

  1. 可壓縮Navier-Stokes方程解的漸近行為的研究 

  著名的不可壓縮Navier-Stokes方程形式上為可壓縮Navier-Stokes方程的低馬赫數(Mach number)極限,因此低馬赫數極限是非常重要的數學問題。關于低馬赫數極限的研究有很多結果,如2006年法國數學家T. Alazard基于聲波分析,證明了可壓縮Navier- Stokes方程一般初值情形的低馬赫數學極限。注意到,之前所有的工作均要求無窮遠處的狀態是同一個常數。最近我們對于無窮遠處狀態為兩個不同常數時,證明了一維可壓縮Navier-Stokes方程的低馬赫數極限。特別地,除了上面到的聲波,我們發現了新的波現象,即擴散波。該波與著名的熱蠕流動(流體從低溫部分流向高溫部分)緊密相關(見圖1)。 實際上,我們構造了極限方程的一個擴散波解,該擴散波解的速度與溫度的導數成正比(即熱蠕流動)。首次從數學上證明非等熵可壓Navier-Stokes方程的解的速度與溫度的導數成正比,即可壓Navier-Stokes方程的解在一定條件下有熱蠕流動現象。研究成果發表在Advances in Mathematics., 319 (2017), 348-395。 

  

                        

1:熱蠕流動 

  可壓縮Euler方程是用來描述理想流體運動的方程。形式上,當粘性系數和熱傳導系數趨于零時,可壓縮Navier-Stokes方程趨近于可壓縮Euler方程。從數學上嚴格證明該極限是一個非常重要的數學問題。特別地,對于初邊值問題,可壓縮Navier-Stokes方程的解會在邊界附近出現急劇的變化,即出現邊界層,這就給分析帶來很大的困難。對于一般的有界光滑區域,我們證明了可壓 Navier-Stokes 方程的 Navier-slip 類型初邊值問題的解到可壓 Euler 方程解的流體極限, 并得到了收斂速率,相關結果發表在SIAM J. Math. Anal, 47(2015), no. 6, 4123-4191 Arch. Rational Mech. Anal., (2016), no.3, 1345-1415。    

  2. Boltzmann方程一類大初值解的整體適定性 

  Boltzmann方程解的整體適定性問題是偏微分方程中的核心問題。對于一般初值,美國數學家R.J. Diperna與法國數學家P.L. Lions (1994Fields獲得者) (Ann. of Math, 1989)通過弱緊性方法首次得到了Boltzmann方程的大初值重整化解的整體存在性,并在論文中指出解的唯一性是重要的公開問題。假設解在正則性足夠高的Sobolev空間中一致有界,法國數學家L. DesvillettesC. Villani (2010Fields獎獲得者) (Invent. Math, 2005)證明了解大時間趨近于相應的平衡態;然而證明滿足要求的整體解的存在性本身是非常困難的公開問題。另一方面,在擾動框架下有很多關于 Boltzmann 方程整體光滑解的存在性和大時間漸近行為的研究工作,但均要求初值是平衡態附近的“小”擾動。 

  

    我們發展了一種新的先驗估計,對于一類大振幅的初值(見圖2),證明了Boltzmann 方程整體解的存在唯一性及解的正則性。我們的工作是首個具有唯一性的 Boltzmann 方程大初值整體解的數學結果,部分回答了P. L. Lions 等人提出的公開問題。此外,即使沒有 Villani等人關于解的一致正則性假設,我們仍然能夠得到該類大擾動初值 Boltzmann方程解的大時間衰減速率。最近,我們還將該結果推廣到了有界區域的情形。論文分別發表在Arch. Rational Mech. Anal., 225 (2017), no. 1, 375-424Advances in Mathematics. 343 (2019), 36-109. 

   

  發表論文: 

  [1] Renjun Duan, Yong Wang, The Boltzmann equation with large-amplitude initial data in bounded domains. Advances in Mathematics. 343 (2019), 36-109. 

  [2] Renjun Duan, Feimin Huang, Yong Wang, Tong Yang, Global well-posedness of the Boltzmann equation with large amplitude initial data. Arch. Ration. Mech.      Anal., 225 (2017), no. 1, 375-424. ? 

  [3] Feimin Huang, Tianyi Wang, Yong Wang, Diffusive wave in the low Mach limit for compressible Navier-Stokes equations, Advances in Mathematics. 319 (2017), 348-395. 

  [4] Yong Wang, Uniform Regularity and Vanishing Dissipation Limit for the Full Compressible Navier-Stokes System in Three Dimensional Bounded Domain, Arch. Rational Mech. Anal. (2016), no.3, 1345-1415. 

  [5] Yong Wang, Zhouping Xin, Yan Yong, Uniform regularity and vanishing vis- cosity limit for the compressible Navier-Stokes with general Navier-slip boundary conditions in three-dimensional domains, SIAM J. Math. Anal. 47(2015), no.6, 4123-4191. 

    

    

附件下載:
 
 
【打印本頁】【關閉本頁】
電子政務平臺   |   科技網郵箱   |   ARP系統   |   會議服務平臺   |   聯系我們   |   友情鏈接